David Pingree
La lógica de la ciencia no occidental:
Descubrimientos matemáticos en la India medieval.
Una de las cosas más significativas que uno
aprende del estudio de la ciencia exacta-
prácticas tal como se practican en varios-
sociedades antiguas y medievales es que,
mientras que la ciencia siempre ha viajado desde
una cultura a otra, cada cultura sea-
antes de que el período moderno se acercara
ciencias que recibió en su propio y único.
camino y los transformó en formas
compatible con sus propios modos de
pensamiento. La ciencia es un producto de la cultura.;
no es un solo, entidad unificada. Allá-
delantero, un historiador de la ciencia premoderna
textos, ya sea que estén escritos en akka-
dián, Arábica, Chino, egipcio, Griego,
hebreo, latín, persa, Sanskrit, o cualquier
otro portador lingüístico de un cul distinto-
ture–debe evitar la tentación de-
David Pingree, miembro de la Academia Americana-
mi desde 1971, es profesor universitario en la de-
Departamento de Historia de las Matemáticas en Brown.
Universidad. Enseña sobre la transmisión de
ciencia entre culturas, y sus publicaciones en-
Incluye muchas ediciones de astronómico., astrológico,
y obras mágicas en acadio, Arábica, Griego,
latín, y sánscrito. Más recientemente ha escrito
“Astronomía árabe en sánscrito” (con T. Kusuba,
2002), “Ciencias Astrales en Mesopotamia” (con
h. Hambre, 1999), y “Planeta Babilónica
Presagios” (con mi. reiner, 1998).
© 2003 por la Academia Americana de las Artes
& Ciencias
concebir estas ciencias como más o menos
intentos torpes de expresar la ciencia moderna-
ideas entí½cas. deben ser entendidos
y apreciado como lo que su práctica-
Los usuarios creían que eran. El historiador es
interesado en la veracidad de su propio
comprensión de las diversas ciencias,
no en la verdad o falsedad de la ciencia-
enencia misma.
Para ilustrar la individualidad
de las ciencias tal como se practicaban en la antigüedad
sociedades no occidentales, y sus diferencias-
Enencias de la ciencia occidental moderna temprana.-
ence (porque la ciencia contemporánea es, en
general, interesado en explicar bastante
fenómenos diferentes a los que
atrajo la atención de científicos anteriores-
tistas), Me propongo describir brevemente algunos
de las características de la época medieval
s´a¯stra indio de jyoti.sa. esta disciplina
se refiere a asuntos incluidos en tales
Áreas de investigación occidentales como astronomía,
matemáticas, Adivinación, y astrología.
De hecho, los jyoti.s¯•s, los expertos indios en
jyoti.sa, produjo más literatura en estos
áreas, y se hizo más matemático
descubrimientos, que los estudiosos de cualquier otro
Cultura anterior a la llegada de la imprenta.. En
para explicar cómo lograron
hacer tales descubrimientos y por qué
Los descubrimientos siguen siendo en gran medida desconocidos.
También será necesario describir brevemente el gen.-
posición social y económica general de la
jyoti.s¯•s.
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ciencia
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S¯astra’ ('enseñando') es la palabra en san-
skrit más cercano en significado al griego
' ,επιστ ´ημη’ y el latín ‘scientia’.
Las enseñanzas a menudo se atribuyen a los dioses.
o se considera que ha sido compuesto por
divina r.sis; pero como eran muchos
ambos tipos de seres sobrehumanos, allá
Había muchas variedades competidoras de cada una.
s´a¯stra. A veces, sin embargo, una escuela
dentro de un s´a¯stra fue fundado por un humano;
Los científicos eran libres de modificar sus
s´a¯stras como vieron ½t. Nadie estaba estafado.-
esforzados por seguir un sistema enseñado por un
dios.
Jyoti.h es una palabra sánscrita que significa
'luz,' y luego 'estrella'; para que jyoti.hs´a¯stra
significa "enseñar sobre las estrellas".
s´a¯stra estaba convencionalmente dividido en
tres subenseñanzas: ga.nita(matemático
la astronomía y las matemáticas mismas ), Cajero automático-
golpear una (Adivinación, incluso por medio de
presagios celestiales), y hor¯a (astrología). A
número de jyoti.s¯•s (estudiantes de las estrellas)
siguió las tres ramas, un mayor
numero solo dos (generalmente sa .mhit¯a y
hor¯a), y el numero mas grande solo uno
(hor¯a).
Los principales escritos en jyoti.hs´a¯stra,
como en todos los s´a¯stras indios, estaban normalmente en
verso, aunque los numerosos comentarios-
Los artículos que llevaban casi siempre estaban en
prosa. La forma del verso con su métrica.
demandas, mientras ayudaba a la memorización,
condujo a una mayor oscuridad de expresión
que la composición en prosa habría sido-
cola. Las exigencias de la métrica poética
significaba que no podía haber tecnología estable-
vocabulario técnico; muchas palabras con dif-
Se tuvieron que definir diferentes patrones métricos.-
ideado para expresar la misma matemática
procedimiento o concepto geométrico, y
Las fórmulas matemáticas tenían con frecuencia
quedar parcialmente incompleto. Más-
encima, Los números tenían que ser expresables en
formas métricas (los dos sistemas principales
.
usado para números, el bh¯utasa
nkhya¯ y
el ka.tapaya¯di, será explicado y ex-
se ejemplifica a continuación), y el consecuente
La ambigüedad de estas expresiones fomenta-
envejecido la inclinación natural del sánscrito
pandits para probar en broma las habilidades de sus lectores.
perspicacia. Se necesita algo de práctica para
lograr seguridad en el discernimiento de
significados técnicos de dichos textos.
Pero en este estilo opaco el jyoti.s¯•s pro-
produjo una abundante literatura. es est-
acoplado que alrededor de tres millones de manu-
guiones sobre estos temas en sánscrito
y en otras lenguas indias todavía existen.
Lamentablemente, sólo un número relativamente pequeño-
ber de estos ha sido sometido a mod-
análisis interno, y prácticamente todo el en-
El conjunto está decayendo rápidamente.. Y porqué
solo hay un pequeño número de eruditos
capacitado para leer y comprender estos
textos, la mayoría de ellos tendrán desapariciones-
apareció antes de que alguien pudiera
describir correctamente su contenido.
Para aclarar mi argumento,
Restringiré mis comentarios a la primera
rama de jyoti.hs´a¯stra–ga.nita. Geometría,
y su rama trigonometria, fue el
Matemáticas utilizadas por los astrónomos indios.
más frecuentemente. De hecho, el indio como-
astrónomos en el siglo III o IV,
utilizando una tabla griega preptolemaica de
acordes,1 produjo tablas de senos y
versines, de lo cual era trivial de-
dos cosenos. Este nuevo sistema de trigo-
nometria, producido en la India, era trans-
entregado a los árabes a finales del siglo VIII.
siglo y por ellos, en una ampliada
forma, al Occidente latino y a Bizancio-
tine Oriente en el siglo XII. Pero, de-
a pesar de este tipo de innovación práctica,
Los indios practicaban la geometría sin
El tipo de pruebas enseñadas por Euclides., en
1 Para una descripción de la tabla de acordes, cy-
haga clic en cuadriláteros, iteración de dos puntos, ½ fijo-
iteración puntual, y varios otros matemáticos
términos mencionados en este ensayo, por favor ve a vic-
tor J. katz, Una historia de las matemáticas: Una introducción-
ducción (Nueva York: harpercollins, 1993).
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que todas las soluciones a problemas geométricos-
Los problemas se derivan de un pequeño cuerpo de
axiomas arbitrarios. Los indios proporcionaron
manifestaciones que demostraron que sus
Las soluciones eran consistentes con ciertos
suposiciones (como la equivalencia
de los ángulos en un par de triángulos semejantes
o el teorema de Pitágoras) y cuyo
validez que se basan en la medición
de varios ejemplos. En su menor rigor-
enfoque amplio que estaban bastante dispuestos a
Estar satisfecho con las aproximaciones., semejante
como la sustitución de una onda sinusoidal por al-
casi cualquier curva que conecte dos puntos.
Algunas de sus aproximaciones, como esos
ideado por ¯Aryabha.ta en aproximadamente 500 para
los volúmenes de una esfera y una pirámide,
simplemente estaban equivocados. Pero muchos estaban sur-
sorprendentemente útil.
No tener un conjunto de axiomas a partir de los cuales
derivar una relación geométrica abstracta-
buques, los indios en general restringieron
su geometría a la solución de la práctica-
problemas de cal. Sin embargo, Brahmagupta
en 628 presentó fórmulas para resolver un
docena de problemas que involucran cuadri cíclicos-
laterales que no se resolvieron en Occidente
antes del renacimiento. Él no proporciona
razones y ni siquiera se molesta en
informar a sus lectores que estas soluciones
Sólo funciona si los cuadriláteros son circulares.-
cumscrito por un círculo (estos comentarios-
colina, P.rth¯udakasv¯amin, escribiendo sobre
864, lo sigue en ambos aspectos). En esto
caso, y claramente en muchos otros, allá
No había ninguna tradición escrita u oral que prevaleciera.-
sirvió el razonamiento del autor para más adelante
generaciones de estudiantes. tal desdén
por revelar la metodología mediante la cual
las matemáticas podían avanzar lo hacía difícil-
½culto para todos menos para los más talentosos-
abolladuras para crear nuevas matemáticas. Es
increíble de ver, dada esta situación,
¿Cuántos matemáticos indios hicieron?
avanzar su ½ campo.
En este punto mencionaré como examen-
muestra sólo la solución de indeterminado
ecuaciones de ½ primer grado, descrito
ya por ¯Aryabha.ta; la solución parcial-
ción de ecuaciones indeterminadas de la
segundo grado, debido a Brahmagupta;
y la solución cíclica de este último tipo
de ecuaciones indeterminadas, conseguido por
Jayadeva y descrito por Udayadiv¯a-
kara en 1073 (la solución cíclica fue
redescubierto en Occidente por Bell y Fer-
estera en el siglo XVII). Enterrar-
polación en tablas usando segundo orden
Las diferencias fueron introducidas por Brah.-
magupta en su Kha.n.dakh¯adyaka de 665.
Se produce el uso de iteración de dos puntos.
½primero en el Pañcasiddh¯antik¯a compuesto por
Var¯ahamihira a mitad del sexto
siglo, e iteración de punto fijo en
el comentario sobre el Mah¯abh¯askar¯•ya
escrito por Govindasv¯amin en el medio
del siglo noveno. El estudio de com-
binatoricos, incluyendo el llamado Pas-
triángulo de cal, comenzó en la India cerca del
comienzo de la era actual en el Chan-
y.hs¯utras, una obra en prosodia compuesta
.
por Pi
insultos, y culminó en el capítulo
13 of the Ga.nitakaumud¯• completed by
N¯ar¯aya .na Pa .n .dita in 1350. The four-
teenth and ½nal chapter of N¯ar¯aya .na’s
work is an exhaustive mathematical
treatment of magic squares, whose study
in India can be traced back to the B.rhat-
sa .mhit¯a of Var¯ahamihira.
En breve, it is clear that Indian mathe-
maticians were not at all hindered in
solving signi½cant problems of many
sorts by what might appear to a non-
Indian to be formidable obstacles in the
conception and expression of mathe-
matical ideas.
Nor were they hindered by the restric-
tions of ‘caste,’ by the lack of societal
apoyo, or by the general absence of
monetary rewards. It is true that the
overwhelming majority of the Indian
mathematicians whose works we know
were Br¯ahma .nas, but there are excep-
ciones (p.ej., entre jainistas, no brah-
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descubrimientos
en medieval
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ciencia
escribas manicos, y artesanos). indio
la sociedad estaba lejos de ser abierta, pero no era
absolutamente rígido; y matemáticas talentosas-
magos, cualesquiera que sean sus orígenes, eran
no ignorados por sus colegas. Sin embargo-
es, astrólogos (que frecuentemente no lo eran
Br¯ahma .nas) y los creadores de calendarios
fueron los únicos jyoti.s¯•s normalmente valorados por
las sociedades en las que vivieron. el en-
La tracción del primer grupo es fácilmente
comprendido, y su enorme población-
laridad continúa hoy. El calendario-
Los creadores eran importantes porque su trabajo
era indicar los momentos en que se realizaban los rituales.
podría o debería realizarse. El indio
el calendario es en sí mismo intrincado; por ejemplo,
el día comienza al amanecer local y es
numerado después del tithi que luego se cur-
alquilar, con el tithis limitado por
los momentos, comenzando desde el último
conjunción verdadera anterior del Sol
y la luna, en el cual el alargamiento
entre las dos luminarias había en-
doblado en doce grados. Esencialmente,
cada pueblo necesitaba su propio calendario para
determinar los tiempos para realizar pub-
Ritos religiosos lic y privados de todo tipo.
en su localidad.
Por el contrario, aquellos que trabajaron en el
varias formas de ga.nita que generalmente se disfrutan
sin patrocinio público, aunque
proporcionó las matemáticas utilizadas por archi-
tectas, músicos, poetas, topógrafos, y
comerciantes, así como el astronómico
teorías y tablas empleadas por astro-
registradores y creadores de calendarios. A veces
un afortunado astrónomo matemático fue
apoyado por un Mah¯ar¯aja a quien
sirvió como astrólogo real y en cuyo
nombre su trabajo hubiera sido pub-
liado. Por ejemplo, el popular R¯ajam.r-
.
Georgia
nka se atribuye, junto con decenas de
otras obras en muchos s´a¯stras, hacia Bhojade-
Virginia, el Mah¯ar¯aja de Dh¯ar¯a en el ½primer
mitad del siglo XI. Otros jyoti-
.s¯•s sustituyó los nombres de divinidades o
antiguos hombres santos para los suyos como au-
Thors de sus tratados.. Autoría a menudo
no trajo recompensas; las ideas de uno eran
a menudo más ampliamente aceptados si fueran
presentados como los de un ser divino, a
categoría que en la mente de muchos hombres en-
reyes incluidos.
Una forma en la que un jyoti.s¯• podría hacer
se ganaba la vida enseñando matemáticas,
astronomía, o astrología a otros. Mayoría
frecuentemente esta instrucción tuvo lugar
en la casa familiar, y, debido a la
sistema de castas, los miembros masculinos de un
Se esperaba que toda la familia de jyoti.s¯• siguiera-
baja la misma profesión. Un jyoti.s mayor¯•,
por lo tanto, entrenaría a sus hijos y a menudo
sus sobrinos en su oficio ancestral. Para
Para esto la familia mantenía una biblioteca de
textos apropiados que incluyeran la com-
posiciones de los miembros de la familia, cual
fueron copiados según lo deseado por los más jóvenes
miembros. De esta manera un texto podría ser
preservado dentro de una familia durante muchos
generaciones sin ser visto
por personas ajenas a la familia. En algunos
casos, sin embargo, un experto se recuperó
Se sabe bastante que los aspirantes procedían de
a todas partes a su casa a estudiar. En
tales casos estos estudiantes llevarían
de copias de los manuscritos en el
colección del maestro a otra familia
bibliotecas en otros lugares.
La enseñanza de jyoti.hs´a¯stra también oc-
curtido en algunos hindúes, Jaina, y brote-
monasterios dhistas, así como en locales
escuelas. En estas situaciones ciertas posturas-
normalmente se enseñaban textos estándar, y el
Se puede establecer el estado de estos textos.
por el número de ejemplares que aún existen,
por su distribución geográfica, y
por el número de comentarios que
estaban escritos en ellos.
De este modo, en ga.nita los principales textos utilizados
en la enseñanza de matemáticas en las escuelas fueron
claramente el L¯•lavat¯• sobre aritmética y el
B¯•jaga.nita es álgebra, ambos escritos por
Bh¯askara en los alrededores 1150, y, entre
.
compuesto
jainistas, las Ga.nitas¯arasa
en aproximadamente 850 por su correligionario, Mamá-
h¯av¯•ra. En astronomía surgió
½ve pak.sas (escuelas): el Br¯ahmapak.sa,
cuyo texto principal fue el Siddh¯anta-
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s ́iroma.ni del Bh ̄askara mencionado
arriba; el ¯Aryapak.sa, basado en el ¯Arya-
bha.t¯•ya escrito por ¯Aryabha.ta en aproximadamente
500; el ¯Ardhar¯atrikapak.sa, cuyo principio-
El texto de mi amigo era Kha.n.dakh¯adyaka com.-
completado por Brahmagupta en 665; el
Saurapak.sa, basado en el S¯uryasiddh¯anta
compuesto por un autor desconocido en
acerca de 800; y el Ga.nes´apak.sa, cuyo
El texto principal fue el Grahal¯aghava au-
Thored por Ga .ne ´sa en 1520. Cada región
de la India favoreció uno de estos pak.sas,
aunque los textos principales de todos ellos
disfrutó de circulación nacional. El COM-
Los mentarios sobre estos a menudo contienen la
Los avances más innovadores en matemáticas.-
ics y astronomía matemática encontradas
en la literatura sánscrita. Por mucho el mejor
autoridad popular, sin embargo, era Bh¯as-
kara; un colegio especial para el estudio de su
numerosas obras se establecieron en 1222
por el nieto de su hermano menor.
Ningún otro jyoti.s indio fue tan honesto.-
ored.
Ocasionalmente, en efecto, un informal
escuela inspirada en el trabajo de un hombre
surgiría. lo mas destacable,
compuesto por seguidores de M¯adhava de
.
ngamagr¯ama en Kerala en extremo
en
sur de la india, duró más de cuatrocientos-
años secos sin ninguna estructura formal
–simplemente una larga sucesión de entusiastas
que disfrutaba y a veces ampliaba
sobre los maravillosos descubrimientos de M¯adha-
Virginia.
M¯adhava (C. 1360–1420), un empr¯an-
golpeó a Br¯ahma y, aparentemente vivió toda su
la vida en la finca de su familia, Ilaññipa.l.li, en
.
en
ngamagr¯ama (Irinjalakhu .da) cerca
Cochín. Su logro más trascendental-
ment fue la creación de métodos para
calcular valores precisos para trigonomet-
funciones ricas generando se infinito-
ries. Para demostrar el carácter-
ter de sus soluciones y expresiones de
a ellos, Traduciré algunos de sus versos.
y cita algo de sánscrito.
Comenzó considerando un octante de
un círculo inscrito en un cuadrado, y, después
algún cálculo, dio la regla (yo trans-
tarde literalmente dos versos):
Matemático
descubrimientos
en medieval
India
Multiplica el diámetro (del circulo) por 4
y dividir por 1. Entonces aplicar a este sepa-
con signos negativos y positivos
alternativamente el producto del diámetro
y 4 dividido por los números impares 3, 5,
etcétera . . . . El resultado es el exacto
circunferencia; es extremadamente preciso
si la división se realiza muchas veces.
Esto describe la serie infinita.:
C =
4D
1
−
4D
3
+
4D
5
−
4D
7
+
4D
9
. . . .
Eso a su vez es equivalente al infinito
serie para π que atribuimos a Leibniz:
Pi
4
= 1 − +
1
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− +
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. . . .
.
sistema nkhy¯a, en que numeros
M¯adhava expresó los resultados de este
fórmula en un verso que emplea la
bh¯utasa
están representados por palabras que denotan
objetos que convencionalmente ocurren en el
mundo en cantidades ½fijas:
vibudhanetragaj·ahihut·a´sanatrigu .naved-
abhav¯ara .nab¯ahava .h |
navanikharvamite v.rtivistare
paridhimanam ida .m jagadur buddhā .h ||
Una traducción literal es:
Dioses [33], ojos [2], elefantes [8], serpientes
[8], ½ res [3], tres [3], cualidades [3], Vedas
[4], hijo satras [27], elefantes [8], y brazos
[2]–los sabios dicen que esta es la medida
de la circunferencia cuando el diámetro
de un círculo es novecientos mil millones.
.
Los números nkhy¯a se toman en
El bh¯utasa
orden inverso, para que la fórmula sea:
π=
2827433388233
900000000000
(= 3.14159265359, lo cual es correcto para el
undécimo decimal).
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Otro verso extraordinario escrito por
M¯adhava emplea el sistema ka.tapay¯adi
en el que los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, y 0 están representados por las consonantes
que van inmediatamente seguidas de una vocal;
Esto permite al matemático crear una
verso con un significado transparente
debido a las palabras y un nu no relacionado-
significado merico debido a las consonantes
en esas palabras. El verso de M¯adhava es:
vidv¯a .ms tunnabala .h kav¯• ´sanicaya .h sar-
v¯artha ´s¯•lasthiro
.
nganarendraru
nirviddh¯a
.
norte
El significado verbal es: “El gobernante cuyo
El ejército ha sido derribado y se reúne para-
juntos el mejor de los asesores y sigue siendo
½firme en su conducta en todos los asuntos.; entonces
él rompe el (rival) rey cuyo ejército
no ha sido destruido”.
El significado numérico es ½ve sexa.-
números gesimales:
0;0,44
0;33,6
16;5,41
273;57,47
2220;39,40.
Estos ½ cinco números son iguales, con R =
3437;44,48 (donde R es el radio) :
540011
R1011!
54009
R89!
54007
R67!
54005
R45!
54003
R23!
Estos números se utilizarán en
la formula:
pecadoθ= θ−(
i
5400
)3[
54003
R23!
−(
i
5400
)2[
54005
R45!
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)2[
54009
R89!
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5400
− (
(
i
5400
)2[
)2[
540011
R1011!
−(
]]]]
y esta fórmula es una simple transformada-
ción de los primeros seis términos en el infinito
serie de potencias para senθ encontrada independientemente-
dentemente por Newton en 1660:
pecadoθ=
i3
θ-
R23!
+
i5
R45!
−
i7
R67!
+
i9
R89!
−
i11
R1011!
No es sorprendente, M¯adhava también descubre-
ered la serie de potencias infinitas para el
coseno y la tangente que solemos
atribuir a Gregorio.
Los matemáticos europeos del
siglo XVII derivó su
series trigonométricas de la aplicación-
ción del cálculo; M¯adhava en aproximadamente
1400 se basó en una inteligente combinación de
geometría, álgebra, y un sentimiento por
posibilidades matemáticas. no puedo aqui
repasar todo su argumento, cual
afortunadamente ha sido conservado por varios
de sus sucesores; pero debo mencionar
algunas de sus técnicas.
Inventó una expansión algebraica.
Fórmula que sigue empujando a una incógnita.
cantidad a términos sucesivos que son
alternativamente positivo y negativo; el
la serie debe expandirse hasta el infinito para obtener
deshacerse de esta cantidad desconocida. También,
debido a las multiplicaciones, como el
los términos aumentan, los poderes del indio-
Los factores individuales también aumentan.. Uno de estos
Los factores en el octante son uno de una serie de
números enteros que comienzan con 1 y terminando
con 3438 – el número de piezas en el
radio del círculo que también es la tan-
caballero de 45°, el ángulo del octante; este
significa que hay 3438 serie infinita
que se debe sumar para obtener el ½ final
series infinitas de la trigonométrica
función.
yo
D
oh
w
norte
oh
a
d
mi
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2
0
2
3
3438
2
34382
2
En la India se sabía desde hacía tiempo que
la suma de una serie de números enteros que comienzan
con 1 y terminando con n es:
+ 1), eso es,
norte(
norte
2
aquí es igual 3438, M¯adhava decidió que
− + norte. desde n
(norte −1)
2
n2
2
norte- , que es igual
, es despreciable
norte
2
. Por lo tanto, un
con respecto a
aproximación a la suma de
. Similarmente, el
serie de n enteros es
sumas de los cuadrados de una serie de n inte-
gers que comienzan con 1 se sabía que era
2[2(norte + 1)2 − (norte + 1)]
norte-
3
. Si n es grande, este
n2
2
norte(norte + 1)2
3
desde
es aproximadamente igual a
− (norte + 1)
6
3438 × 34392
3
es despreciable. Pero, con norte = 3438,
34383
.
3
Por lo tanto, como una aproximación, la suma
de la serie de los cuadrados de 3438 no-
es un poco diferente de
n3
3
norte
2
. Finalmente, él
n2(norte + 1)2
4
gers que comienzan con 1 es
Se sabía que la suma de los cubos de
una serie de n números que comienzan con 1
es: ( )2(norte + 1)2 o
. Si n es 3438,
hay poca diferencia entre
34382 × 34392
y
. Por lo tanto, el
4
n4
expresión
es una aproximación cercana
4
a la suma de los cubos de una serie de n
números que comienzan con 1. A partir de estos
tres ejemplos que M¯adhava adivinó en el
regla general de que la suma de n números
en una serie aritmética que comienza con
1 todos elevados al mismo poder, pag, es ap-
34384
4
aproximadamente igual a
nortep +1
p+ 1
.
También se había realizado en la India desde
21,600
2Pi
el siglo quinto– a partir del examen de
tabla de senos en la que el radio del cir-
(que era aproximado-
cle, R, es
editado por 3438) y en el que hay 24
senos en un cuadrante de 90º, de manera que la
longitud de cada arco cuyo seno es tabulado-
ed es 225′, que el seno de cualquier tabulado
i3
R23!
y que el versino de
i2
2R
El ángulo θ es igual a θ menos la suma de
las sumas de las segundas diferencias de la
Senos de los ángulos tabulados anteriores..
M¯adhava descubierto, por algunos muy
geometría inteligente, que la suma de
sumas de las segundas diferencias aprox.-
matemáticamente igual
θ es aproximadamente igual a
. Desde
sin2θ= R2 − cos2θy versθ= R − cosθ,
M¯adhava podría corregir la aproximación-
ción al versino por la aproximación
a la suma de las sumas de la segunda diferencia-
referencias de senos tabulados; luego él
podría corregir la aproximación a la
suma de las sumas del segundo difieren-
enencias por la aproximación corregida
al versino; y el podria continuar
construyendo las dos series paralelas mediante
aplicar correcciones alternas a
a ellos. Finalmente llega a las dos infinitas.
serie de potencias, equivalente, si R = 1, a:
i5
5!
pecadoθ= θ −
i7
7!
i3
3!
i9
9!
. . . ,
−
+
+
y
i8
8!
i2
2!
i4
4!
i6
6!
+
+
−
. . . .
cosθ = 1 −
Los miembros posteriores de la “escuela” de
M¯adhava también hizo un trabajo notable,
en ambas geometría (incluyendo trigonomo-
intentar) y astronomía. Esta no es la oca-
sión de recitar sus logros,
pero debo comentar aquí que, entre
estos miembros, astrónomos indios
Intentó especialmente utilizar observaciones
corregir modelos astronómicos y sus
parámetros.
Matemático
descubrimientos
en medieval
India
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3
Esto comenzó con el director de M¯adhava.
.
ngamagr¯ama. Observó dieciocho
alumno, un Namp¯utiri Br¯ahma .na llamado
Parame´svara, cuya familia era el illam
Va.ta ´sre .ni en A ´svatthagr¯ama, una aldea
aproximadamente treinta y cinco millas al noreste de
en
eclipses lunares y solares entre 1393
y 1432 en un intento de corregir la tradición-
Teoría tradicional del eclipse indio. un alumno
del hijo de Parame ´svara, D¯amodara, era
La caída de Dédalo 2003
51
David
Pingree
en
ciencia
N¯•laka .n.tha–otro Namp¯utiri Br¯ah-
ma .na que nació en 1444 en el Kelal-
donde está ubicado en Ku .n .dapura, cual es
aproximadamente cincuenta millas al noroeste de A'svattha-
grama.
N¯•laka .n.tha hizo una serie de observaciones-
Variaciones de posiciones planetarias y lunares.
y de eclipses entre 1467 y 1517.
N¯•laka .n.tha presentó varios
conjuntos de parámetros planetarios y sig-
Modelos planetarios notablemente diferentes,
cual, sin embargo, permaneció geocéntrico.
Nunca indica cómo llegó a
estos nuevos parámetros y modelos, pero
parece haberlos basado al menos en
en gran parte por sus propias observaciones. Para
él proclama en su Jyotirm¯•m¯a .ms¯a–con-
Contrariamente a la frecuente afirmación hecha por
Los astrónomos indios que el fundamen-
tal siddh¯antas expresando las reglas eternas
de jyoti.hs´a¯stra son aquellos que supuestamente tienen
sido compuesto por deidades como S¯urya
–que los astrónomos deben continuamente
hacer observaciones para que el calculado
Los fenómenos pueden coincidir lo más estrechamente posible.-
posible con observaciones contemporáneas.
N¯•laka .n.tha dice que esto puede ser una estafa-
necesidad continua porque los modelos y
los parámetros no están ½ fijos, porque más tiempo
Los períodos de observación conducen a más ac.-
seleccionar modelos y parámetros, y se-
provocar mejores técnicas de observación
e interpretar los resultados puede conducir a su-
soluciones anteriores. Esta afirmación es al-
más singular en la historia del jyo indio-
ti.sa; jyoti.s¯•s generalmente parecen tener meros-
Se corrigieron los parámetros de one pak.sa.
para que se correspondan estrechamente con
los de otro.
Los descubrimientos de la generación sucesiva.-
Las eraciones de la “escuela” de M¯adhava continúan-
debía estudiarse en Kerala en un plazo de
pequeña zona geográfica centrada en Sa
gamagr¯ama. Los manuscritos del
Tratados escolares en sánscrito y malayo.-
es, todo copiado en la escritura malaya¯alam,
Nunca viajé a otra región de In.-
.
norte-
es; lo más lejos que llegaron fue Ka.tattan¯at
en el norte de Kerala, alrededor de cien
.
millas al norte de Sa
ngamagr¯ama, dónde
.
el R¯ajakum¯ara ´Sa
nkara varman repetir-
La serie trigonométrica de Ed M¯adhava en un
obra titulada Sadratnam¯al¯a en 1823. Este
Pronto fue recogido por un funcionario civil británico.-
vant, Carlos M.. deseo, quien publicó
un artículo titulado “Sobre el Hind ´u Quad-
naturaleza del Círculo y el Se In½nito-
ries de la proporción de la circunferencia-
encia al Diámetro en los Cuatro Sástras,
la colección tantra, Yocti Bhasá,
Carana Paddhati y Sadratnamála" en
Transacciones de la Royal Asiatic Society en
1830.2 Mientras Whish estaba convencido de que
los indios (él no sabía de M¯adha-
Virginia) había descubierto el cálculo: una conclusión-
sión que no es cierta a pesar de que
encontró con éxito la serie in½nite para
funciones trigonométricas cuya deriva-
ción estuvo estrechamente relacionada con el descubrimiento-
ery del cálculo en Europa en los siete-
Siglo XIX: otros europeos.
Se burló de la idea de que los indios
podría haber logrado un éxito tan sorprendente-
impuesto. La evaluación adecuada de M¯adha-
El trabajo de va comenzó sólo con K.. Te amo
Marar y C. t. “Sobre el
Cuadratura hindú del círculo," pub-
publicado en el Journal of the Bombay Branch
de la Real Sociedad Asiática de 1944.
Así, mientras los descubrimientos de Newton,
Leibniz, y Gregory revolucionó
matemáticas europeas inmediatamente
tras su publicación, los de M¯adha-
Virginia, Parame´svara, y N¯•laka.n.tha, hecho
entre finales del siglo XIV y principios
siglos XVI, se hizo conocido por un
un puñado de académicos fuera de Kerala en
.
ngraha fue escrito por
2 Tenga en cuenta que el Tantrasa
los N¯•laka .n.tha a quienes ya tenemos hombres-
cionado, el Yuktibh¯a.sa por su colega y fel-
pupila baja de D¯amodara, Jye.s.thadeva, y el
Kara.napaddhati por un residente de Putumana
ella en sivapura 1723.
52
La caída de Dédalo 2003
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3
India, Europa, America, y solo japon
en la segunda mitad del siglo XX-
ry. Esto no se debió a la incapacidad de
Jyoti.s¯•s indios para entender las matemáticas.-
matemáticas, pero a lo social, económico, y
entornos intelectuales en los que
trabajó. El aislamiento de las mentes brillantes
no era infrecuente en la India premoderna.
La exploración de los millones de sur-
manu viviente en sánscrito y lengua vernácula-
guiones copiados en una docena de diferentes
Los guiones probablemente revelarían un número
de otros M¯adhavas cuyo trabajo merece
La atención de historiadores y filósofos.-
esferas de la ciencia. Desafortunadamente, pocos
Los académicos han sido capacitados para emprender.
la tarea, y la mayoría del manu-
Los guiones se habrán desmoronado en apenas un minuto.-
er siglo o dos, antes de que esos pocos puedan
rescatarlos del olvido.
Matemático
descubrimientos
en medieval
India
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